উৎপাদক : যদি কোনো বীজগণিতীয় রাশি দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল হয়, তাহলে শেষোক্ত রাশিগুলোর প্রত্যেকটিকে প্রথম রাশির উৎপাদক বা গুণনীয়ক (Factor) বলা হয়। যেমন, $a^2-b^2=(a+b)(a–b),$ এখানে $(a+b)$ ও $(a–b)$ রাশি দুইটি $(a^2–b^2)$ এর উৎপাদক।

উৎপাদকে বিশ্লেষণ : যখন কোনো বীজগণিতীয় রাশিকে সম্ভাব্য দুই বা ততোধিক রাশির গুণফলরূপে প্রকাশ করা হয়, তখন একে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা বলে এবং ঐ রাশিগুলোর প্রত্যেকটিকে প্রথমোক্ত রাশির উৎপাদক বলা হয়। যেমন, $x2+2x=x(x+2)$ [ এখানে $x$ ও $\left(x+2\right)$ উৎপাদক] উৎপাদক নির্ণয়ের নিয়মগুলো নিচে দেওয়া হলো :

(ক) সুবিধামতো সাজিয়ে :

$px-qy+qx-py$ কে সাজানো হলো, $px+qx-py-qy$ রূপে।

এখন, $px+qx–py-gy=x(p+q)-y(p+q)=(p+q)(x-y).$

আবার, $px-qy+qx-py$ কে সাজানো হলো, $px-py+qx-qy$

এখন, $px–py+qx-y=p(x-y)+q(x-y)=(x-y)(p+q).$

(খ) একটি রাশিকে পূর্ণ বর্গ আকারে প্রকাশ করে :

$x^2+4xy+4y^2={\left(x\right)}^2+2\times x\times 2y+{\left(2y\right)}^2$

                            $={(x+2y)}^2=(x+2y)(x+2y)$

(গ) একটি রাশিকে দুইটি রাশির বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করে এবং $a^2–b^2$ সূত্র প্রয়োগ করে :

$a^2+2ab-2b-1$

$=a+2ab+b^2–b^2-2b-1$ [এখানে b2 একবার যোগ এবং একবার বিয়োগ করা হয়েছে। এতে রাশির মানের কোনো পরিবর্তন হয় না]

$=(a^2+2ab+b^2)-(b^2+2b+1)$

$={(a+b)}^2–{(b+1)}^2$

$=(a+b+b+1)(a+b-b-1)$

$=(a+2b+1)(a-1)$

বিকল্প নিয়ম :

                $a^2+2ab-2b-1$

                $=(a^2-1)+(2ab-2b)$

                $=(a+1)(a-1)+2b(a-1)$

                $= (a-1)(a+1+2b)$

                $=(a-1)(a+2b+1)$

(ঘ)$x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$ সূত্রটি ব্যবহার করে : 

            $x^2+7x+10=x^2+(2+5)x+2\times 5$

                                   $=(x+2)(x+5)$

(ঙ) একটি রাশিকে ঘন আকারে প্রকাশ করে :

                  $8x^3+36x^2+54x+27$

                  $=(2x{)}^3+3\times (2x{)}^2\times 3+3\times 2x\times (3{)}^2+(3{)}^3$

                  $=(2x+3{)}^3$

                  $=(2x+3)(2x+3)(2x+3)$

(চ) $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ এবং $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

সূত্র দুইটি ব্যবহার করে :

$8x^3+125=(2x{)}^3+(5{)}^3=(2x+5) (2x{)}^2-(2x)\times 5+(5{)}^2$

                                              $=(2x+5)(4x^2-10x+25)$

$27x^3-8=(3x{)}^3-(2{)}^3 =\left\{\right(3x-2) \{(3x{)}^2+(3x)\times 2+(2{)}^2\}$

                                              $=(3x-2)(9x^2+6x+4)$

উদাহরণ ১। $27x^4+8x{y}^3$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান : $27x^4+8x{y}^3=x(27x^3+8y^3)$

                                       $=x\left\{\right(3x{)}^3+\left(2y{)}^3\right\}$

                                       $=x(3x+2y) \left\{\right(3x{)}^2-\left(3x\right)\times \left(2y\right)+\left(2y{)}^2\right\}$

                                       $=x(3x+2y)(9x^2-6xy+4y^2)$

উদাহরণ ২। $24x^3-81y^3$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান : $24x^3-81y^3=3(8x^3-27y^3)$

                                        $=3\left\{\right(2x{)}^3-\left(3y{)}^3\right\}$

                                        $=3(2x-3y) \left\{\right(2x{)}^2+\left(2x\right)\times \left(3y\right)+\left(3y{)}^2\right\}$

                                        $=3(2x-3y)(4x^2+6xy+9y^2)$